אַסטרוֹנוֹמִיָה

תחזיות מסלול מסלוליות למישור דו-ממדי

תחזיות מסלול מסלוליות למישור דו-ממדי

בתשובתו המצוינת של ProfRob ל- S2 הוא עדיין הכוכב הידוע ביותר בגלקסיה ?, הוא פרסם דמות של מסלולי מסלול של כוכבים העוברים קרוב לחור השחור והמסיבי ליד מרכז הגלקסיה, אותו אני מפרסם כאן:

נתון זה גרם לבלבול מסוים בהערות, במיוחד בנוגע לעובדה שלא נראה שיש מוקד משותף לכל האליפסות בתמונה, כפי שניתן היה לצפות בחוק הראשון של קפלר. ProfRob הזכיר למשתמשים האחרים שהדמות היא הקרנה של המסלולים בתלת ממד אל מישור השמים.

שְׁאֵלָה: כיצד נשמרים (או לא) המאפיינים הגיאומטריים של מסלולים כאשר הם מוקרנים על גבי מישור?

במיוחד:

  1. האם התחזיות הדו-ממדיות של אליפסות הן גם אליפסות?
  2. האם השלכות האליפסה כוללות את ההשלכה המתאימה של המסה המרכזית?
  3. מדוע תחזיות האליפסה אינן חולקות מוקד?
  4. באילו תנאים (אם בכלל) יחלוקו התחזיות?

כן, הקרנת הדו-ממד של אליפסה תלת-ממדית (או מעגל) היא תמיד אליפסה (או מעגל). עם זאת, באופן כללי, האלמנטים השונים של האליפסה התלת-ממדית אינם מקרינים על האלמנטים המתאימים של אליפסה דו-ממדית.

פרמטרזציה פשוטה של ​​אליפסה דו-ממדית משתמשת באנומליה האקסצנטרית. לקבלת אליפסה שבמרכזה, תן $ לדולר להיות הציר החציוני, מיושר לציר ה- X, $ b $ ציר הזרם למחצה, מיושר לציר Y, ​​ו $ theta $ האנומליה האקסצנטרית. לאחר מכן $$ x = a cos ( theta) $$ $$ y = b sin ( theta) $$ ציין זאת $ theta $ הוא לֹא הזווית המרכזית של האליפסה, זו הזווית המרכזית של מעגלי העזר הקשורים לאליפסה. להלן תרשים, באדיבות ויקיפדיה (לחץ על התמונה לגרסת SVG):

האנומליה האקסצנטרית של נקודה P היא הזווית E. מרכז האליפסה הוא נקודה C והמיקוד הוא נקודה F.

העיגול הכחול מספק את קואורדינטת ה- X של P, והעיגול הירוק מספק את קואורדינטת ה- Y שלה.

קודקודי האליפסה הם הנקודות בהן הציר העיקרי חוצה את האליפסה, הקודקודים המשותפים הם הנקודות בהן הציר הקטן חוצה את האליפסה. המוקדים מונחים על הציר המרכזי במרחק $ f = ae $ מהמקור, היכן $ e $ הוא האקסצנטריות. ציין זאת $ a ^ 2 = b ^ 2 + f ^ 2 $.

אם נסובב את האליפסה בתלת ממד סביב ציר ה- X על ידי $ gamma $ ולהשליך אותו חזרה למישור ה- XY, לאליפסה המוקרנת יש אותו ציר חצי מרכזי, אך ציר חצי הזרם שלו מתכווץ ל $ b cos gamma $. באופן דומה, אם נסובב אותו סביב ציר Y על ידי $ beta $, הציר הזרוע למחצה נשמר, אך הציר החציוני מתכווץ אליו $ a cos beta $. עם סיבובים מורכבים יותר, הדברים מסתבכים ...

אנו יכולים לייצג סיבובים באמצעות מטריצות סיבוב. זה שימושי מכיוון שנוכל לשלב סיבובים על ידי הכפלת המטריצות שלהם. לפרטים, עיין במאמר בויקיפדיה.

באמצעות מטריצות סיבוב נוכל לייצר משוואות פרמטריות לאליפסה התלת ממדית הכללית. אני לא אשחזר את המשוואות האלה כאן, מכיוון שהן קצת מבולגנות. אך באמצעות משוואות אלה אנו יכולים להראות שהאליפסה המוקרנת היא, למעשה, אליפסה.

להלן סקריפט סייג / פיתון היוצר עלילה תלת ממדית אינטראקטיבית של אליפסה מסובבת והקרנתו למישור XY. אני משתמש באותן מוסכמות כמו אותו מאמר בויקיפדיה: אני משתמש במערכת קואורדינטות ימנית, עם זוויות $ alpha, beta, gamma $ המייצג סיבובים נגד כיוון השעון (במעלות) סביב צירי Z, Y, X, בהתאמה. (אם אתה "תופס" ציר ביד ימין, כאשר האגודל מכוון לכיוון החיובי, אז האצבעות שלך מסתלסלות בכיוון הזווית החיובית).

ה $ z = 0 $ מישור XY מוצג באפור שקוף. אני מתווה את הקודקודים, הקודקודים המשותפים והמוקדים של אליפסה תלת-ממדית בצבעים ראשוניים, ומשתמש באותם צבעים עבור ההקרנות של אותם אלמנטים אל האליפסה הדו-ממדית. הציר העיקרי הוא אדום, הציר המשני כחול, המוקדים והאליפסה התלת-ממדית עצמה הם ירוקים. אני מתווה גם את הקודקודים, את הקודקודים המשותפים והמוקדים של אליפסה דו-ממדית: מגנטה עבור מז'ור, ציאן עבור קטין, וירוק חיוור עבור מוקדי אליפסה דו-ממדית. כאשר אחת מהנקודות הללו חופפת נקודה מוקרנת, מערכת הגרפיקה "מחליטה" איזו מהן יעבדו.

"" "תכנן אליפסה בתלת מימד והקרנתו למישור XY נכתב על ידי ראש הממשלה 2Ring 2012.04.11" "" מרדיאנים לייבוא ​​מתמטיקה t = var ('t') ps = 10 # התווה פלח קו תלת ממדי ונקודות הקצה שלו def קו (נק ', צבע): P = point3d (נק', גודל = ps, צבע = צבע) P + = line3d (נק ', צבע = צבע) החזר P # הקרין וקטור תלת מימד ל z = 0 מטוס def proj (v) : וקטור החזרה ((v [0], v [1], 0)) @ interact def main (ecc = slider (0, 1, step_size = 0.05, default = 0.6), alpha = slider (-180, 180, step_size = 5, ברירת מחדל = 0), בטא = מחוון (-180, 180, שלב_גודל = 5, ברירת מחדל = 20), גמא = מחוון (-180, 180, שלב_גודל = 5, ברירת מחדל = 20), מסגרת = שקר, פרספקטיבה = False, auto_update = False): a = 1 f = a * ecc b = sqrt (a ^ 2 - f ^ 2) הדפס ("b =", b) # בנה מטריצות סיבוב אלפא = רדיאנים (אלפא) בטא = רדיאנים ( בטא) גמא = רדיאנים (גמא) Rx = מטריצה ​​(RR, [[1, 0, 0], [0, cos (gamma), -sin (gamma)], [0, sin (gamma), cos (gamma) ]]) Ry = מטריצה ​​(RR, [[cos (בטא), 0, sin (בטא)], [0, 1, 0], [-sin (בטא), 0, cos (בטא)]]) Rz = מטריצה ​​(RR, [[cos (alpha), -sin (alpha), 0 ], [sin (alpha), cos (alpha), 0], [0, 0, 1]]) R = Rz * Ry * Rx # המישור z = 0, מוצא וצירים P = plot3d (lambda x, y: 0, (-a, a), (-a, a), color = "# 888", opacity = 0.2) P + = point3d ([(0,0,0)], size = ps, color = "# 888") P + = pline ([(- a, 0, 0), (a, 0, 0)], "#aaa") P + = pline ([(0, -a, 0), ( 0, a, 0)], "#aaa") # אליפסה 3D fxyz = R * וקטור ((a * cos (t), b * sin (t), 0)) fxy0 = proj (fxyz) P + = parametric_plot3d (fxyz, (t, 0, 2 * pi), color = "green") # האליפסה המוקרנת P + = parametric_plot3d (fxy0, (t, 0, 2 * pi), color = "# 7f7") # The קודקודים וקודקודים משותפים של אליפסה תלת-ממדית והקרנותיהם # מייג'ור vx0, vx1 = fxyz (t = 0), fxyz (t = pi) P + = pline ([vx0, vx1], "אדום") P + = pline ([proj (vx0), proj (vx1)], "אדום") # vyor קטין, vy1 = fxyz (t = pi / 2), fxyz (t = 3 * pi / 2) P + = pline ([vy0, vy1], "כחול") P + = פליין ([proj (vy0), proj (vy1)], "כחול") # מוקדי האליפסה התלת-ממדית והקרנותיהם f0 = R * וקטור ((- f, 0, 0)) f1 = R * וקטור ((f, 0, 0)) P + = קו ([f0, f1], "ירוק") P + = קו ([פרו (f0), פרויקט (f1)], " gr een ") # מצא את הקודקודים והקודקודים האמיתיים של אליפסה מוקרנת # rf הוא פונקציית הרדיוס של האליפסה המוקרנת rf = abs (fxy0) # major ap, t0 = find_local_maximum (rf, 0, pi) _, t2 = find_local_maximum (rf, pi, 2 * pi) vpx0, vpx1 = fxy0 (t = t0), fxy0 (t = t2) P + = pline ([vpx0, vpx1], "magenta") # מינורי bp, t1 = find_local_minimum (rf , 0, pi) _, t3 = find_local_minimum (rf, pi, 2 * pi) P + = pline ([fxy0 (t = t1), fxy0 (t = t3)], "cyan") # מצא מוקדים אמיתיים של אליפסה מוקרנת eccp = sqrt (ap ^ 2 - bp ^ 2) / ap P + = pline ([vpx0 * eccp, vpx1 * eccp], "# 7f7") P.show (פריים = מסגרת, הקרנה = "פרספקטיבה" אם פרספקטיבה אחרת "אורטוגרפית")

הנה צילום מסך:

קצת קשה לראות מה קורה באותו צילום מסך. זה הרבה יותר קל בתצוגת התלת-ממד האינטראקטיבית. תצוגה זו נוצרת באמצעות three.js, ומגיבה OrbitControls הרגיל: אתה יכול לסובב ולסובב את המצלמה באמצעות העכבר, להשתמש בגלגל העכבר כדי להתקרב. על מסך מגע, אצבע אחת מסתובבת, השתמש בשתי אצבעות כדי להזיז ולהתקרב.


כעת התסריט מאפשר לך לכבות או להדליק את המסגרת בקלות ולבחור בין מצלמה פרספקטיבית או אורתוגרפית.


בהיותי מזוכיסטית, אני מניח, לקחתי על עצמי את המאמץ הזה "ביד" לפני מספר חודשים, מכיוון שלא רציתי להשתמש בפתרונות "מוכנים" - הדרך הטובה ביותר להבין משהו היא ללמוד את תוכו! שלוש נקודות עיקריות יוצאות:

  • השלכת אליפסה היא תמיד אליפסה (או מעגל, שהוא מקרה מיוחד של אליפסה)
  • הממד היחיד המשותף בין האליפסה האמיתית לאליפסה המוקרנת הוא ציר האפסידל
  • ה מֶרְכָּז גם האליפסה האמיתית וגם האליפסה המוקרנת זהה אבל לֹא המוקדים!

כדי למצוא את האליפסה המוקרנת מהאליפסה האמיתית, או להיפך, עליך לבנות אליפסה עזר, שחישובה ארוך למדי ומפותל. אם אתה רוצה להיות "מזוכיסטי" כמוני, אשמח לחלוק את התוצאות שלי (בהשראת הערותיו של ג'רמי טייטום בכתובת http://astrowww.phys.uvic.ca/~tatum/celmechs.html ו- Esmat Bekir מאמר בכתובת https://dergipark.org.tr/tr/download/article-file/568547).


דוגמה: תחזיות מפה סטריאוגרפיות וגליליות

השרטוטים מציגים תחזיות מפה סטריאוגרפיות וגליליות והם מציבים אתגרים מעניינים לעשות אותם עם חבילת ציור דו-ממדית PGF / TikZ.

הרעיון העיקרי הוא לצייר מטוסי תלת מימד נבחרים ואז להקרין על מערכת קואורדינטות הקנבס עם טרנספורמציה מתאימה. כמה נקודות עיקריות:

  • שימוש במנוע מתמטי pgf לחישוב טרנספורמציות הקרנה ומעבר נקודות מקווי גלוי (קווים מלאים) לקווים בלתי נראים (מקווקו) על מרידיאנים ומעגלי רוחב
  • הגדרת טרנספורמציה במישור התלת-ממדי עם סגנונות מורחבים כך שהם חסינים נגד הגדרה מחדש של פקודות המאקרו המשמשות לבנייתם
  • שימוש בקואורדינטות בעלות שם (צמתים) להגדרת נקודות אופייניות במערכות קואורדינטות מקומיות כך שיהיו נגישות מחוץ למישור ההגדרה שלהן
  • חישוב נקודות צמתים עם מערכת קואורדינטות צמתים TikZ
  • שימוש ב & # 8216 להפעלת נתיב במקום & # 8216arc & # 8217 לצורך סימון זוויות כדי לאפשר מיקום קל של תוויות טקסט בעיקול
  • אפקטים של תאורה תלת ממדית עם הצללה

האם יש לך שאלה לגבי הדוגמה הזו, TikZ או LaTeX בכלל? פשוט תשאל ב פורום LaTeX.
Oder frag auf Deutsch auf TeXwelt.de. En fran & ccedilais: TeXnique.fr.


תשובות ותשובות

מה אמור 'x' לייצג?

היכן נחשב הגובה?

מהירות הקליע במסלול?

למה אתה מתכוון ב'משוואת כדור הארץ '?

& quotx & quot אמור לייצג את מסלול מסלול הקליע.

הגובה הוא בעצם המרחק משטח האדמה לאובייקט.

על ידי 'משוואת האדמה' התכוונתי לחתך רוחב של כדור הארץ, המוקרן על מישור קרטזי דו-ממדי.

המהירות היא המהירות המיידית של האובייקט באותו רגע. לדוגמא, אם לווין מקיף את כדור הארץ בגובה 350 ק"מ, מהירותו חייבת להיות שווה:

[itex] v = sqrt[/ itex] כאשר G הוא קבוע הכבידה, r הוא המרחק ממרכז האדמה לאובייקט, ו- m הוא מסת האדמה.

שהמסלול יהיה מעגלי. במקרה זה, מהירות הלוויין היא כ- 7.7 קמ"ש והוא תמיד יהיה קבוע.

מכיוון שהלוויין יהיה מעגלי לחלוטין, משוואת נתיב הלוויין במקרה זה תהיה:

עם זאת, המשוואה תהפוך מורכבת הרבה יותר אם הלוויין נמצא בגובה 350 ק"מ אך ינוע במהירות גבוהה יותר ממהירות המסלול (& GT7.7 קמ"ש) מכיוון שהוא יתחיל ללכת בדרך אליפטית.

ניסיתי זאת בעבר אך לא הצלחתי למצוא פיתרון ולכן אודה לו אם תוכלו לברר אותי כיצד לפתור בעיה זו.

עדכון: הנה דיאגרמה גסה שציירתי שתקווה להבהיר אותה עוד יותר.

ביסודו של דבר, מצא את משוואת הקו המקווקו הכחול, בהתחשב בכך שמהירות הלוויין היא 8 קמ"ש (משיק למשטח) כאשר הוא נמצא בדיוק 350 ק"מ מעל פני האדמה.

האם ההסבר שלי למעלה ברור מספיק? יש לך שאלה לגבי מה שפרסמתי למעלה?

כל הצעה / קלט יזכו להערכה רבה!

אני אחזור אחרי ארוחת הצהריים ואסתכל על זה. מסלולך יהיה אליפסה ואתה מתחיל בתאונה - לאורך הציר המרכזי של האליפסה.
יש דרך להשיג את גובה האפוגי מגובה המהירות ומהמהירות - אבל אתה צריך לעבור כמה משוואות וריבוע.

אז בואו נסתכל על הדוגמה של 8Km / s שלכם.
עבור כדור הארץ, פרמטר הכבידה הסטנדרטי הוא [itex] mu_ = 398600.4418 Km ^ <3> / s ^ <2> [/ itex].
אז מהירות הבריחה ברדיוס היא [itex] v_(r) = sqrt <2 mu_/ r> [/ itex].
ב- 350 ק"מ MSL, זה יהיה [itex] v_(6378.1 + 350Km) = sqrt <2 cdot 398600.4418 / 6728.1> = 10.885Km / s [/ itex].

אם היינו במהירות בריחה היינו הולכים בדרך פרבולית. מכיוון שאנחנו איטיים ממהירות הבריחה, אנו נמצאים במסלול אליפטי עם מרכז כדור הארץ. הציר העיקרי של האליפסה יעבור דרך מלאכת החלל שלנו ומרכז כדור הארץ, ומרכז כדור הארץ יהיה בנקודת מיקוד אחת של האליפסה.

המהירות למסלול מעגלי בגובה זה היא: [itex] v_(r) = sqrt < mu_/ r> = sqrt <398600.4418 / 6728.1> = 7.697Km / s [/ itex]. בדיוק כמו שחישבת.

אז אנחנו מהירים יותר ממסלול מעגלי, איטיים ממהירות הבריחה ונוסעים אופקית. אז אנחנו נמצאים בסכנה וכדור הארץ נמצא בנקודת המוקד הקרובה של האליפסה שאנחנו עוקבים אחריה.

יהיו שני דברים שלא ישתנו במהלך מסלולנו:
1) כמות האנרגיה הנדרשת כדי להגיע למהירות בריחה תמיד תהיה זהה. אז [itex] v_(r) ^ 2 - v ^ 2 [/ itex] יהיה קבוע.
2) הודות לקפלר, אנו יודעים שתמיד נשטוף את האזור עם מסלולנו בקצב קבוע. אז [itex] v_r [/ itex] יהיה קבוע, כאשר [itex] v_[/ itex] הוא המרכיב המשיק של המהירות שלנו.

באפוגי ובקצב, המהירות המשיקית שלנו תשווה למהירות מסלולית שלנו. אז שימוש במנוי & מכסה & quot עבור אפוגי ו- quotp & quot עבור תושב:
3] [itex] v_(r _) ^ 2 - v_ ^ 2 = v_(r_

) ^ 2 - v_

^ 2 [/ itex]
4] [itex] v_r_ = v_

r_

[/ itex]


שיטות ריאולוגיות וויסקומטריות

סיימון ג'יי.וי. פרקין,. הלינה רובינשטיין-דנלופ, באור מובנה ויישומיו, 2008

10.2.2 מדידת מומנטום זוויתי מסלולי

מדידת המומנטום הזוויתי מסלולית דומה במושג למדידת המומנטום הזוויתי הסיבובי שכן, שוב, אנו מעוניינים בשינוי תכולת המומנטום הזוויתי של הקורה לאחר שהיא עוברת דרך האובייקט הלכוד. אנו יכולים לעשות זאת שוב על ידי פירוק הקורה לרכיבים אורתוגונליים עם תנע זוויתי מוגדר היטב. עם זאת, הבדל חשוב אחד הוא שבמקום שנצטרך לקבוע את האמפליטודות של שני מרכיבי קיטוב בלבד, עלינו כעת לקבוע את האמפליטודות של קבוצה גדולה מאוד של מצבי Laguerre – Gaussian (LG). מצבי ה- LG מקבילים לקיטוב המעגלי האורתוגונאלי בכך שהם מהווים בסיס שנקבע עם מומנט זוויתי מוגדר היטב. ניתן לפרק קרן שרירותית למצבי LG, והמשרעות של המצבים יקבעו את תכולת המומנטום הזוויתי המקיף של הקורה. אנו יכולים להגדיר מידה של תנע זוויתי מסלולי,

איפה פl הוא הכוח במצב LG עם אינדקס אזימוטלי של l. P הוא ההספק הכולל, אשר שווה ערך לסכום כל הכוח בכל מצבי ה- LG. ניתן למצוא את המומנט המופעל על אובייקט כלוא באמצעות משוואה (2), למעט Δσ במקום זאת יהיה השינוי במידת תכולת המומנטום הזוויתי במסלול של הקורה.

בעוד שפירוק מצב LG זה הוכח באמצעות קורות פרקסיאליות [34], השיטה מתגלה כבעייתית במקרה של קרן שרירותית המועברת דרך פינצטה אופטית, כפי שנדון בהמשך הפרק. לכן פותחה שיטה אחרת למדידת תנע זוויתי מסלולי בפינצטה אופטית. שיטה זו משתמשת במדידת המומנטום הזוויתי הפשוט יחסית כדי להסיק את כמות המומנטום הזוויתי מסלולי המועבר. לגבי נוזל ניוטוני ובמשטר הזרימה הלמינרית, הדברים הבאים נכונים

כאשר Ω הוא קצב הסיבוב של החלקיק הלכוד ק הוא קבוע. לכן, על ידי שינוי המומנט עקב הסיבוב, ניתן לקבוע את הקבוע ק ומרכיב מסלול המומנט [32]. באופן עקרוני ניתן להשתמש בחפצים המאפשרים העברה יעילה של תנע זוויתי מסלולי לחקר צמיגות הנוזל שמסביב. יש סיבוך, מכיוון שמשוואה (3) לא תחול עוד מכיוון שהחלקיק לא צפוי להיות כדורית, אם כי ניתן להשתמש בדינמיקת נוזלים חישובית לקביעת מומנט הגרר על עצמים בצורת שרירות.


פרטים

באופן כללי, תחזיות המפה חייבות להסביר את העובדה שהאורך בפועל (בק"מ) של דרגת אורך אחת משתנה בין קו המשווה לקוטב. ליד קו המשווה, היחס בין אורכי דרגת קו רוחב אחת לבין דרגת קו אורך אחד הוא בערך 1. ליד הקוטב הוא נוטה לאינסוף מכיוון שאורכו של דרגת קו רוחב אחת נוטה לכיוון 0. באזורים המשתרעים על מעטים בלבד מעלות ואינם קרובים מדי לקטבים, הגדרת יחס הגובה-רוחב של העלילה ליחס lat / lon המתאים מקורבת להקרנת המסחרית הרגילה. זה מה שעושה coord_quickmap (), וזה הרבה יותר מהיר (במיוחד עבור עלילות מורכבות כמו geom_tile ()) על חשבון הנכונות.


מסלול קוטבי ומסלול סינכרוני שמש (SSO)

לוויינים במסלולים קוטביים עוברים בדרך כלל את כדור הארץ מצפון לדרום ולא ממערב למזרח ועוברים בערך מעל קטבי כדור הארץ.

לווינים במסלול קוטבי אינם חייבים לעבור את הקוטב הצפוני והדרומי בדיוק אפילו סטייה בטווח של 20 עד 30 מעלות עדיין מסווגת כמסלול קוטבי. מסלולים קוטביים הם סוג של מסלול כדור הארץ נמוך, שכן הם נמצאים בגבהים נמוכים בין 200 ל -1000 ק"מ.

מסלול סינכרוני שמש (SSO) הוא סוג מסוים של מסלול קוטבי. לוויינים ב- SSO, הנוסעים מעל אזורי הקוטב, הם סינכרוניים עם השמש. משמעות הדבר היא שהם מסונכרנים להיות תמיד באותו מיקום 'קבוע' ביחס לשמש. המשמעות היא שהלוויין תמיד מבקר באותה נקודה באותו זמן מקומי - למשל, עובר את העיר פריז בכל יום בצהריים בדיוק.

משמעות הדבר היא כי הלוויין תמיד יצפה בנקודה על כדור הארץ כאילו כל הזמן באותה שעה ביום, המשרתת מספר יישומים למשל, פירוש הדבר שמדענים ואלו המשתמשים בתמונות הלוויין יכולים להשוות כיצד שינוי כלשהו במקום זְמַן.

הסיבה לכך היא שאם ברצונך לפקח על אזור על ידי צילום סדרת תמונות של מקום מסוים לאורך ימים, שבועות, חודשים או אפילו שנים, לא יהיה זה מועיל להשוות איפשהו בחצות ואז בצהריים - עליכם לצלם כל תמונה בצורה דומה ככל האפשר לתמונה הקודמת. לכן, מדענים משתמשים בסדרות תמונות כאלה כדי לחקור כיצד דפוסי מזג האוויר מתעוררים, כדי לחזות מזג אוויר או סופות בעת מעקב אחר מצבי חירום כמו שריפות יער או שיטפון או לצבור נתונים על בעיות ארוכות טווח כמו כריתת יערות או עליית מפלס הים.

לעתים קרובות, לוויינים ב- SSO מסונכרנים כך שהם נמצאים עם שחר או בין ערביים קבועים - הסיבה לכך היא שרכיבה מתמדת של שקיעה או זריחה, לעולם לא תהיה להם השמש בזווית שבה כדור הארץ מוצל עליהם. לוויין במסלול סינכרוני שמש יהיה בדרך כלל בגובה שבין 600 ל -800 ק"מ. במהירות 800 ק"מ היא תנוע במהירות של כ- 7.5 ק"מ לשנייה.


מתווה מסלול קרקע של מסלול אליפטי עם זווית נטייה

אני מנסה להקרין את מסלול הקרקע של מסלול אליפטי עם זווית נטייה שרירותית של $ Delta i $ ותקופה של $ T $. יש לי את כל הפרמטרים של המסלול (אורך ציר חצי עיקרי, אורך ציר חצי מינורי, אקסצנטריות, מהירות אפוגי ותקפה, אנרגיה וכו ').

הגישה בה נקטתי הייתה מתווה מיקום של הלוויין במסלול האליפטי במישור X-Y. אני חוזר על תחום הזמן $ t ב [0, textrm] $ כאשר T היא תקופת המסלול עם שלב זמן מוגדר של $ Delta t $. בכל פעם אני מחשב את החריגה הממוצעת ואת גודל המרחק בין הלוויין לגוף המרכזי, $ r $. בעת הקרנת וקטור המיקום של הלוויין ביחס לגוף המרכזי על הציר העיקרי למחצה, אורכו של אותו וקטור מוקרן יוגדר כ- $ x $. לאחר שמצאתי $ x $ מצאתי את ההקרנה האנכית של אותו וקטור מיקום, וכך יצרתי את המשולש שמתחת.

קודם כל, עלי למצוא אנומליה מתכוונת כפונקציה של זמן. הקוד שלי כרגע לא עובד, אבל בתיאוריה מה שאני עושה זה (של קרטיס מכניקת מסלול לסטודנטים להנדסה, מהדורה ראשונה) אני פותר מספרית כמות שכותרתה $ E $ תוך שימוש במשוואה עבור אנומליה ממוצעת (שוויון בין 3.12 ל- 3.13 למי שיש להם את הספר), נתון כ: $ M_e = E - e sin (E) $. משם, אני פותר באופן מספרי חריגה אמיתית באמצעות eqn. 3.7 א:

לאחר שמצאתי מרחקים אלה מצאתי את הקואורדינטות הכדוריות של הלוויין ביחס למרכז גוף המרכז. $ r $ יהיה $ r_p + x $, $ phi $ פשוט יהיה ההשלמה של $ Delta i $. $ theta $ תהיה החריגה האמיתית.

אחרי זה אני מתכנן (x, y) באמצעות טרנספורמציה כדורית-קרטזית, אבל אני פשוט לא מאמין שזה כל כך פשוט. ראשית, מה שאני בעצם מנסה לעשות זה להקרין עקומת תלת מימד על כדור ואז להקרין את זה למישור דו-ממדי. אם למישהו יש מקורות / חומר קריאה כיצד באמת לעשות את המתמטיקה הזו, זה יהיה נהדר. התייחסתי לפרק זה מספר על לוויינים: http://fgg-web.fgg.uni-lj.si/

עדיין לא הספקתי שהקוד יופעל, אז אני לא יודע איך נראים העלילות שלי, אך לפי נתונים ראשוניים, נראה שהוא לא מתנהל בצורה נכונה (למשל אמור להיות אנומליה אמיתית ($ theta $) 0 עד $ 2 pi $ ככל שהזמן גדל, אבל זה לא מה שמפיק.

עריכה: שגיאות הקלדה וכדי להבהיר, אני לא רוצה להשתמש בחבילות חיצוניות כמו STK. אני רוצה להיות מסוגל להגיע פיזית עם העלילות האלה.


קידוד ומולבב של תמונות דו-ממדיות עם קורות תנע זוויות מסלוליות ושימוש בתצוגות צבע מרובות תצוגה

האופי האורתוגונלי של מצבי תנע זוויתי מסלולי שונים מאפשר העברת מידע בתקשורת אופטית עם רוחב פס מוגבר באמצעות ריבוב חלוקת מצבים. עד כה העבודות הקשורות התמקדו בשימוש במצבי תנע זווי מסלוליים קידוד / פענוח ואותות צירים מבוססי נקודה מרובי למספרי ערוצי נתונים וקיבולת מרביים. בין אם ניתן להשתמש במצבי תנע זוויתי מסלולי לקידוד / פענוח אותות מחוץ לציר עבור ריבוב בחלל דו מימדי יש חשיבות משמעותית ביסודו ובמעשי לפוטנציאל העצום שלו בהגדלת יכולת המידע בערוץ. בעבודה זו, שימוש ישיר במצבי תנע זווי מסלוליים אל קידוד / פענוח ותמונות דו ממדיות מרובות מתממש בארכיטקטורת תצוגה רב-תצוגית ניתנת להרחבה, שניתן להשתמש בה לצפייה בתמונות תלת מימד מזוויות שונות. נחקרת ההשפעה של קידוד / פענוח מחוץ לציר והתכתובת המתקבלת בין תצוגות דו ממדיות מרובות. על בסיס זה מודגמת תצוגת צבע באיכות תמונה טובה עם ארבע תצוגות עצמאיות. הרזולוציה של התמונות המפוענחות מנותחת ומדובר במגבלת גישה זו. יתר על כן, מוצעת גם תכנית תקשורת נתונים מרובת-שטח מרווחת עם גישה כזו של קידוד / פענוח דו-ממדי כדי לשפר משמעותית את יכולת העברת הנתונים במרחב פנוי לצרכי תקשורת נתונים עתידיים.

1. הקדמה

טכניקות שונות נחקרו במטרה להציג תמונה תלת מימדית (תלת מימד), באמצעות שחזור תמונות ישיר באמצעות שדות אור [1] ושיטות הולוגרפיות [2, 3]. לחלופין, ניתן לחקות תמונה תלת ממדית על ידי הצגת תמונות דו ממדי בדידות (2D) נפרדות. שיטות מבוססות שכבה [4] מקרינות תמונות דו-ממדיות מרובות בעומק של תמונה תלת-ממדית, בעוד שתצוגות סטריאוסקופיות [5] ותצוגות מרובות תצוגה [6] מקרינות תמונות דו-ממדיות נפרדות הנצפות בזוויות שונות. תצוגות תלת מימד סטריאוסקופיות נהנות מרמז ההתכנסות של הראייה האנושית ומספקות שתי תמונות לשתי העיניים. ביניהם, אלה המבוססים על ריבוב חלוקת קיטוב [7] מוגבלים ביסודם לשתי תצוגות מכיוון שהמידע מקודד לאחד משני מצבי הקיטוב האורתוגונליים. עבור אותם תצוגות משולבות צבע (אנאגליף) [8], יש לקודד את התמונות עבור עיני שמאל וימין בנפרד עם שני צבעים שונים כמעט משלימים. תצוגות סטריאוסקופיות מרובות-זמן משתמשות בהתמדה החזותית של הראייה [9] ומציגות שתי תמונות ברצף לשתי עיניים, בהתאמה. עם זאת, מספר התצוגות ברזולוציה מלאה שניתן להקרין במקביל מוגבל בשל המאפיינים הפיזיים של קיטוב ואנאגליף. באופן דומה, תצוגות מרובות תצוגות המשתמשות בגישות רצף זמן [10] או ריבוב מרחבי [11, 12] להפרדת תמונות שונות סובלות מההחלפה בין רזולוציית התמונה למספר הצפיות המוקרנות בו זמנית. כל הגישות הללו מתכוונות לספק כמות מספקת של מידע, שגם הוא מעניין בהקשר כללי יותר.

כדרגה נוספת של חופש, המומנטום הזוויתי האורביטלי (OAM) של האור בתיאוריה מאפשר קידוד / פענוח ומרבב / ריבוי ריבוי מספר בלתי מוגבל כמעט של ערוצים בתקשורת [13–16]. העברה, העברה ומסירת מידע עשויה גם ליהנות ממספר בלתי מוגבל תיאורטי של מצבי OAM אורתוגונליים [17] כפי שעושה תקשורת. מידע כזה יכול להיות תמונות דו-ממדיות לתצוגות מרובות תצוגה. זה הוכר כי אלומות אור מעבדה עם שלב ספירלי עם

סליקים השזורים באורך גל היחידה הם בעלי OAM של

לפוטון, היכן נמצא מדד מצב ה- OAM [18]. פריקת השלב ויחידות השלב על ציר של קורות OAM פותחות אזור כהה על ציר הקורה עם אפס חלקים אמיתיים ודמיוניים [19, 20]. בגלל האורתוגונליות בציר הקורה, נעשה שימוש בקורות OAM לקידוד ופענוח נתונים מבוססי נקודה עם המשרעת על הציר [13–16] או עם מצב של קרן OAM [21]. גישה זו הורחבה לקידוד ופענוח תמונות דו-ממדיות באמצעות מערך פיקסלים של מצבי OAM [21], כאשר פענח דו-ממדי למערך פיקסלים וכל פיקסלים טופלו כנקודה על הציר שתקודד ותפענח על ידי מצב OAM מופרד מרחבית. על ידי יצירת מערך של קרני OAM הודגם קידוד ופענוח של תמונה דו-ממדית המוצגת כ- 9x9 פיקסלים עם כל הפיקסלים מפוענחים בו זמנית [22, 23]. עם זאת, המידע המקודד כאן עם OAM הוא ביסודו על הציר ולכן מבוסס על נקודה ויהיה קשה מאוד להגדיל גישה זו ליישומים של תמונות דו ממדי ברזולוציה גבוהה.

על מנת לפתח גישה מעשית לקידוד / פענוח תמונות דו-ממדיות באמצעות מצבי OAM, יש לשקול קידוד לא רק של נקודת הציר אלא גם של כל הנקודות מחוץ לציר. לאחרונה חקרנו מתמטית את המצב הכללי של קידוד ופענוח מידע דו-ממדי עם קורות OAM [24, 25]. אזורים כהים גדולים שהוצגו על ידי מצבי OAM גדולים מצביעים על כך שניתן לפענח תמונות דו-ממדיות ולהפריד אותן במערבולות [24]. יתר על כן, הראינו שניתן לקודד / לפענח נקודה מחוץ לציר על ידי ספקטרום OAM במקום מצב יחיד [25], בדומה למקרה של קורות OAM שלא מיושרות [26, 27]. כתוצאה מכך, ניתן להשתמש בכמה מצבי OAM שנבחרו בקפידה כדי לקודד / לפענח, כמו גם לתמונות תצוגת דו-ממדיות מולטיפלקס / דמולטפלקס הכוללות הן את הנקודה על הציר והן את הנקודות מחוץ לציר.

כאן אנו מציעים להשתמש במצבי OAM ל קידוד / פענוח ותמונות דו-ממדיות מרובות ולהדגים זאת בארכיטקטורת תצוגה מרובת תצוגות חדשנית המסוגלת לספק תמונות צבעוניות באיכות גבוהה לצפייה בתמונות תלת מימד (תלת מימד) מזוויות שונות. מערך הניסוי נבנה כדי להדגים את ביצועיו לארבע תצוגות עצמאיות, עם מצב ה- OAM המקודד הגדול ביותר של 12 ואזור קידוד יעיל של 800 μM. זה שובר את הגבול של תצוגות אוטוסטרוסקופיות רגילות עם שתי תצוגות באמצעות אורות מקוטבים. הניסוי שלנו מאשר את האפשרות להגדיל מידע שמקודד במצבי OAM מנקודתית ל -2 D עם מעבר מוחלט צפוי וניתן לשליטה, שתואם את הניתוח התיאורטי שלנו. השימוש במצבי OAM לקידוד / פענוח ומידע דו-ממדי מרובי בתקשורת נתונים אופטית בחלל פנוי מוצע גם כדי לשפר משמעותית את קצב העברת הנתונים לדרישות עתידיות.

2. תוצאות

2.1. קידוד תמונות דו ממדיות עם OAM Spectra

איור 1 (א) ממחיש באופן סכמטי את הארכיטקטורה המוצגת עם תצוגה מרובה המבוססת על קידוד / פענוח תמונות תצוגת דו ממד מרובות עם קורות OAM מידע על תמונות דו-ממדיות הנצפות מזוויות שונות של תמונה תלת-ממדית מתבצע על ידי קרן ה- OAM המקודדת למראה, כאשר כל תמונה מווסתת על ידי לוח פאזה סלילי בעל מספר ייחודי של סלילים וניידות השזורים זה בזה. תמונה דו ממדית מורכבת מנקודה על הציר ונקודות מחוץ לציר מרובות. בתצוגה, נקודה על הציר של תמונה מקודדת עם מצב ה- OAM של קרן האור כמו במקרים המקובלים [13, 16, 21-23]. OAM של אור מוגדר ביחס לציר שרירותי [27]. כאשר היא מוגדרת ביחס לנקודה מחוץ לציר, ניתן לראות קרן OAM על הציר כעל סופרפוזיציה של קבוצה אינסופית של מצבי OAM מחוץ לציר עם מצבים שונים [25]. קידוד / פענוח נקודה מחוץ לציר הוא קידוד / פענוח של ספקטרום OAM הכולל קבוצה של מצבי OAM שהם סימטריים ביחס למצב OAM על הציר (איור 1 (ב)).

בשונה ממצבי OAM מיושרים לחלוטין לקידוד על ציר, קידוד / פענוח נקודות מחוץ לציר למולטיפלקס יכול להכניס שיחת יד. בתנאי שספקטרום ה- OAM המקודד עם שתי תמונות שונות אינו מופרד מספיק, הרכיבים החופפים בספקטרום ה- OAM מביאים לדיבוי בין שתי התמונות. מכיוון שרוב האנרגיה בספקטרום OAM ממוקדת קרוב למצב המרכזי, ניתן להדגים הפרדה של ספקטרום OAM ואזור קידוד יעיל בכדי להימנע ממגע צלולי על ידי הפרדה בין המצבים המרכזיים. כאן עוצמות של הרכיב המרכזי בספקטרום OAM נפתרות באופן נסיוני ונמדדות על ידי קידוד / פענוח טבעת (גזירות בחומרים ושיטות).

ראשית, מאפיין קל של 50μטבעת ברוחב מ 'עם תזוזה קבועה מחוץ לציר δ מציר האור (טבעת גודל פנימי

) קודם בניסוי במצבים שונים l, ושינוי עוצמת הרכיב העיקרי בספקטרום OAM לעומת מצבים מקודדים שונים על הציר l נחקר (איור 2 (א)). פרופילי העוצמה של מישור ההדמיה מתי

מוצגים באיורים 2 (a2) -2 (a4), וחתכי רוחבם מוצגים באיור 2 (a5). העוצמות יוצרות אזור כהה מעגלי במרכזו, אשר יכול להיחשב כאזור קידוד שימושי להקרינת תמונה. רדיוס האזור החשוך גדל עם מצב מוגבר l, והעוצמה המרבית פוחתת במקביל. תוצאות ניסוי של רדיוס האזור הכהה שהוגדר ב -10% מהעוצמה המרבית, ורדיוס בעוצמות מקסימליות לעומת מצבים שונים l מתוארים באיור 2 (c1). מצב גדול יותר l, מה שמצביע על הפרדה גדולה יותר של מצב בין שתיים מהתצוגות המרובות בהדגמה שלנו, הוא יתרון להפחתת הצלבה בשתי דרכים: (1) הגדלת שטח קידוד יעיל (2) פיזור אנרגיית הצלבה על שטח גדול יותר כך שהמשרעת של הצלבה נמוכה מספיק בכדי להבליט תמונה שימושית. ככל שהמצב עולה, רדיוס עוצמת השיא יכול להתאים לשיא שונה בעקומת עוצמת רדיאלי אופיינית כפי שמוצג באיור 2 (b5). כתוצאה מכך, רדיוס עוצמת השיא גדל בצעדים. איור 2 (c2) מאשר אנרגיה המשולבת מעל מישור ההדמיה נשמרת l ≤ 20. Angular resolution of the spiral phase profile imposed by the liquid crystal on silicon (LCOS) spatial light modulator (SLM) is limited by the large pixel size, and generating OAM beams with larger mode indices is more problematic. In an OAM spectrum, change of weights of the other components versus different modes l mimics that of the main component. Taking the less dominant components into consideration, the theoretical effective coding area for a range of different modes l can be found in [25]. The fact that the radius of the central component in a spectrum increases with the OAM mode suggests that the effective encoding area increases at the same time.

Secondly, light features with different constant off-axis displacements (i.e., different ring sizes) were coded with the same mode “l=6”, and the position and intensity of crosstalk raised in the imaging plane were studied (Figure 2(b)). The width of the rings was 100 μm, and ring sizes of them were “δ=0, 450, and 900 μm”, respectively. In the imaging plane, intensities profiles are shown in Figures 2(b2)–2(b4) and the radial intensities are plotted in Figure 2(b5). For completeness, Figure 2(d) shows the calculated cross-sections for the rings with other off-axis displacements δ, where the rows agree with measured radial intensities. The red dotted line shows a minimum inner radius of the crosstalk term defined at 10% of the maximum intensity. The white dashed line shows the radii themselves. For encoding/decoding an image having multiple points with a range of different displacements, an effective coding area within which any points in the reconstructed image are placed can be suggested by the triangle formed with the white dashed line and the red dotted line. Encoding/decoding points with displacements smaller than the effective coding area are advantageous to keep low crosstalk. מתי

increases, vertex of the triangle would move toward the top right and the effective coding area would increase. In the effective coding area, peaks of the crosstalk term occur where there is discontinuity in the encoded image, and those peaks were used for the edge detection in microscopy [28, 29].

2.2. Decoding Multiplexed OAM 2D Images

Experimentally we encoded/decoded images imprinted on chrome masks with helical phase lφ imposed by spiral phase plates (SPPs) [17, 30, 31] and LCOS spatial light modulator SLM [17, 32, 33], where l is the OAM mode index annotating the handedness and number of helices of the phase front, and

is the angular coordinate in a cylindrical coordinate system. Blocked letters “u”, “a”, and “s” with transparent background were encoded with groups of encoding OAM modes “len=-8, 1, 8” and “len=-7, 1, 8”, respectively. The OAM beams containing information of the encoded images were multiplexed and decoded using the experimental setup shown in Figure 3(a). A blazed grating or a spiral phase pattern is loaded on the LCOS. One of the three encoded view images was extracted at a time by the use of a programmable LCOS SLM, which displayed a spiral grating consisting a blazed diffraction grating [34] with a forked dislocation and imposed spiral phase onto the diffraction order [13, 17].

When the decoding OAM mode index lde matched one of the encoding OAM mode indices len so that “len + lde =0”, the interrelated view image was extracted. Encoded with modes “len=-8, +1, and +8”, the extracted images are shown as follows: Figure 3(b2) shows the three extracted images decoded at the first diffraction order when the OAM mode index of the spiral grating was “lde=+8, -1, and -8”, respectively, and Figure 3(b3) shows the extracted images encoded/decoded with modes 7, ±1, and ±8. For comparison, images diffracted by a blazed grating (without encoding/decoding) are present in Figure 3(b1). In general the quality of a decoded image depends on the OAM mode range used in the encoding and decoding process. Its off-axis points can be affected significantly by the overlapping components in the OAM spectrum from images of other channels which are encoded with adjacent OAM modes. Using an OAM mode further away from the other chosen OAM modes can help to improve the quality of the decoded image and minimize its deviation from its original image. Therefore, it is important to balance mode separation for different images for optimized image qualities.

To analyze image quality, intensity at the horizontal cross-sections of the decoded characters “u” are plotted and compared in Figure 3(c1), and their sharpness calculated from change of intensity in the איקס direction was shown in Figure 3(c2). The outer edges at איקס1 ו איקס2 were cut by a circular aperture and less sharp compared with the other edges which were more related to edges on the image masks. The extracted images encoded/decoded with modes either “l=8, ±1, ±8” or “l=7, ±1, ±8” kept sharp edges compared with the projected image without encoding/decoding. However, energies of the other views went to a circular pattern surrounding the extracted image, and the bright part had lower intensity after normalization. Crosstalk introduced by the other views made the dark part brighter. Image contrast of “l=8, ±1, ±8” is better than that of “l=7, ±1, ±8”, which is consistent with the fact that the larger the mode separation, the smaller the crosstalk noise. Increasing the mode difference among views and improving the alignment may better separate the encoding and decoding OAM spectra, decreasing the imperfectness.

The experimental setup decodes off-axis points with on-axis OAM spectra via convolving any point in the encoded image with an off-axis OAM beam (derivations in Materials and Methods), where the term “off-axis OAM” means a nonzero displacement between the OAM’s own cylindrical symmetry axis and the experimental system axis. With reference to the experimental system axis, an off-axis OAM beam can be regarded as an on-axis OAM spectrum which consists of a number of different on-axis OAM modes [25]. A small circular region displaced at different positions was used to represent a point and coded with OAM modes. Figure 4(a) shows typical intensity profiles when an off-axis point is encoded with an OAM mode. Having encoded a 50-μm point at different off-axis positions with the same on-axis OAM mode, the intensity distribution remains the same but its position is shifted depending only on the location of the encoded point. Figure 4(b) summarizes normalized intensities of the intensity profiles for a range of different modes l when off-axis points with different lateral positions and polar angles are encoded. In Figure 4(b1), a 50-μm point was encoded at different lateral displacement, and in Figure 4(b2), a 100-μm point was encoded at different polar angle. The fact that curves describing different off-axis points coincide suggests the shift-invariance property remains for different modes l. The process of the convolution employed is therefore indeed shift-invariant.

2.3. OAM Multiview Color Display

Among the technologies to pursue projection of realistic 3D images [2, 4, 35, 36], autostereoscopic displays give 3D sensation without the need for viewing glasses [37]. When the number of view images is sufficient, multiview autostereoscopic displays mimic the parallax generated by a realistic 3D object [38, 39]. Supported by the theoretical unbounded state space of OAM, it is possible to encode information of many 2D images and construct an ideal dense multiview display.

To demonstrate the concept, we projected a dice consisting of four view images which were decoded simultaneously (Figure 5). The multiplexed view-encoded OAM beam contained information of the left, right, top, and bottom views of a dice which were encoded with OAM modes “len=-8, 0, +6, and +12”, respectively. Each of the encoded view was decoded from a replication of the multiplexed view-encoded OAM beam and reconstructed. Multiview of a 3D dice could be projected when the decoded views were directed toward the target position from the designed angles, where the horizontal angles were ±20°, and the vertical angles were ±30°. The view images were calculated and imprinted on chrome masks, with the size of 800 μm, and size of the reconstructed view images was 4 mm. Crosstalk was introduced mainly because of adjacent OAM modes used to encode/decode different views. For example, in Figure 5(c3) where the red image decoded by the mode “l=-6”, the major crosstalk came from the adjacent OAM mode channel where a blue image was encoded with “l=+12”. This can be improved by encoding/decoding some of the images with OAM modes having larger topological charges and increasing mode separation. Recent advance in laser direct nanostructuring of silica glass demonstrates optical elements generating OAM modes of up to “l=100” [40], which can potentially allow us to have larger mode separation and reduced crosstalk practically.

Though phase plates are wavelength specific [17], color images can still be encoded and decoded. Figure 5(e) presents a white view image reconstructed by the combination of four wavelengths coding the same view image, where a 632.8 nm image was coded with modes “l=8”, a 532 nm image was coded with the mode “l=0”, a 635 nm image was coded with modes “l=±6”, and a 450 nm image was encoded with modes “l=±12”. The first red channel of 635 nm has a lower intensity than the second read channel of 632.8 nm in order to reduce the crosstalk and achieve the final white image therefore Figures 5(e2) and 5(e3) appear similar.

2.4. Spatially Multiplexed OAM Modes

The 2D image-based OAM encoding/decoding method described above can benefit a wide range of applications. Here we propose its use in spatially multiplexed data channels in free space to significantly further expand the data transmission capacity. A schematic drawing of such an approach is shown in Figure 6. By carefully positioning the fibre array in 2D and choosing the appropriate OAM modes, independent communication between different 2D fibre arrays with minimum crosstalk can be realized. The use of a single OAM phase plate for each 2D fibre array instead of using it for each fibre in both the sending and receiving ends will be able to reduce the complexity and costs enormously and make this scheme an efficient and viable approach in high bandwidth data communication in free space.

3. Discussion

The orthogonal nature of OAM beams possessing different OAM mode indices makes them ideal to support additional degrees of freedom in encoding and decoding information. The Fourier relationship between OAM and the angular position [41, 42] expands an off-axis OAM beam into an OAM spectrum having weighted OAM modes, which suggests an off-axis point can be encoded/decoded with an OAM spectrum. Having proposed to extend conventional point-based on-axis encoding/decoding to 2D based off-axis encoding/decoding, we further suggest that 2D information being encoded/decoded with a single OAM mode for multiplexing can be multiple levels rather than just a single bit as black/white. We demonstrate the idea by encoding different OAM modes with different 2D images. Central components of OAM spectra are measured and analyzed, showing that crosstalk between any two different views can be reduced using sufficiently separated OAM modes or with a reduced image size. Using carefully selected OAM modes, three 2D images were encoded, multiplexed, and decoded with their image quality unchanged. We then demonstrate the use of the proposed multiview color display architecture with four static images and four wavelengths, to illustrate the reconstruction of views of a 3D object at four different angles, which breaks the two-view limit of the polarization multiplexing scheme. Such a multiview static display can be extended easily to a multiview video display by simply replacing the static images in use with video images. Furthermore, it is also possible to scale up the size of the images with larger mode separation and scale up the number of views using more OAM modes. A limitation of the approach lies in that generating higher OAM modes is practically refined by the pixel size of the LCOS SLMs or the accuracy of the SPPs and there is trade-off between image size and number of images for a given set of OAM modes. Mode number as high as ±100 has been realized in silica glass [40]. To further overcome such a limitation in encoding and decoding images, it may be possible to generate even higher OAM modes using metasurfaces [43]. Finally, the use of OAM modes to encode/decode 2D information and multiplex them spatially can be extended to a broader research applications, such as free space optical data communications, where the capacity of data transmission can be further enhanced enormously to meet the future demand of ever growing data transmission rates.

To optimize the mode selection for multiview color display with more views and less parallax within a limited range of OAM modes, the main concern in this case is the crosstalk among different images. This is related to the image size and mode separation: larger images and smaller mode separation would have more crosstalk. For minimum crosstalk on the image quality, consideration of the trade-off between the image size and mode separation (or number of views if absolutely necessary) is needed. Figure 2(c) illustrates the relationship between image size and mode separation. Suppose that we select the OAM modes from a base set of

for different views and the separation between any two modes is

. From Figure 2(c) and related previous results [25], the size of image that can be encoded/decoded is a function of the mode separation:

. Based on this set of , the resultant number of images for a designed image size is N 1/

, where N is the number of > . The appropriate OAM modes from are such that > .

It is worth mentioning that the absolute amplitude or intensity of encoded light beam does change during the propagation. The information it carries in this case depends on the image contrast, i.e., the spatial distribution of the light intensity, rather than the absolute amplitude itself. The overall change of the amplitude of a single OAM beam transmitted over a long distance will have little effect on the amount of the information it carries. In order to prevent information deterioration, any optical components which may eventually affect the output spatial distribution of light intensity are avoided in the experimental setup.

4. Materials and Methods

4.1. Experimental Design

A uniform light beam was firstly modulated spatially by a 2D amplitude image and then encoded in an OAM mode by passing a SPP of a certain order. Different OAM encoded beams were then multiplexed spatially before they were split to different directions with each decoded with a corresponding complementary SPP for image reconstruction, as illustrated in Figure 1(a). Three relay lenses were used in the light path. Sizes of encoded images were selected based on size of dark regions of OAM beams generated by the ordered SPPs. Size of the dark region increases with OAM mode and confines maximum size of images that can be encoded/decoded for multiplexing (Figure 2). Intensity profiles of light beams were recorded by a CMOS camera with 4928x3264 pixels and 23.6x15.6 mm at the imaging plane. The Figures displayed in this study were cropped for the purpose of demonstration. Experiments for Figures 2 and 4 were repeated three times and the other experiments were repeated more times. The results of the experiments were highly repeatable.

Light Sources. A 632.8 nm linearly polarized HeNe laser was used in Figures 2–4. The HeNe laser and 532 nm, 635 nm, and 450 nm laser diodes were used in Figure 5.

Generation of OAM Beams. We used SPPs in combination with a blazed grating displayed on a LCOS SLM to impose spiral phase and generate OAM beams. When Figure 5(d3) was extracted, a 0

2.1π blazed grating was used to reduce diffraction efficiency of blue/green light so that crosstalk introduced by the blue/green images was minimized.

Image Formation. The encoded images and testing targets were chrome masks imprinted on glass, with a pixel size of 2 μm. They were relayed using 4f system and then projected using an imaging lens. At the imaging plane, we denote the function of the projected image as tא.

Performing Convolution of the Encoded Image with the Crosstalk Function. In Figure 3(a), suppose the distance from the imaging lens to the plane, where the LCOS is placed, is ד1 the distance from the LCOS plane to the imaging plane is ד2 and the focal length of the imaging lens is f. The Cartesian coordinate system of the LCOS plane is (ξ,η), and azimuthal coordinate of the polar coordinate system of that plane is ϕ. The Cartesian coordinate system of the imaging plane is (איקס,y), and the polar coordinate system of the imaging plane is (ρ,φ). Using the Fresnel diffraction [28], the complex field of the imaging plane Uד2,l(איקס,y) can be written as a function of the complex field just after the LCOS for plane Uד1,l(ξ,η)exp(ilϕ) in that


What’s a node?

צפה בגדול יותר. | Illustration of the orbits of Earth over a single year (2020) and of speedier Venus over 7 months. The planets, at the beginnings of the months, are exaggerated 300 times in size and the sun 5 times. Image via Guy Ottewell’s blog.

Venus will be at the descending node of its orbit on Friday, October 25, 2019 at 02:00 UTC translate UTC to your time. By American clocks, it’ll be four or more hours earlier, on October 24.

Ascending and descending nodes keep happening and may seem among the least exciting pf astronomical events, but they shape the orbits of the moving bodies and set them up for whatever else happens. And it happens that I’ve been working on a bit for my Venus book about that planet’s plane – its inclination and nodes – and have today fashioned the space diagram at the top of this post.

It shows the orbits of Earth in a year and of speedier Venus over seven months. The planets, at the beginnings of the months, are exaggerated 300 times in size and the sun five times.

Earth moves in the ecliptic plane Venus does not. Its plane is at an inclination of 3.4 degrees to the ecliptic. In the diagram above, stalks connect the plane of Venus’ orbit to the ecliptic plane at intervals of five days. Also, Venus’s path is drawn with a thinner line when it is south of the ecliptic.

I chose the year 2020 because, in the 8-year Venus cycle, this is the type of year in which Venus’ inferior conjunction with the sun happens close to descending node. Inferior conjunction is the moment when Venus passes between us and the sun. Descending node is the moment when Venus slopes southward through the ecliptic plane. Ergo – at this upcoming inferior conjunction of Venus on June 3, 2020 – Venus very nearly passes in front of the sun, literally.

It did so eight and 16 years previously: the great transits of Venus. The cycle slowly evolves, and, in 2020, inferior conjunction will come just too soon – two days – before descending node. Note that – on the chart above – the red line for the conjunction points slightly above the sun the blue line for the node points slightly to the right of the sun. Thus, in 2020, Venus will miss the sun on the northern side.

But the timing of the node passages determines much else. Because descending node is now, the next ascending node will be on February 15, 2020. That will cause Venus’s course next April to be seen by us far enough north that, as seen in our sky, the planet will cross the beautiful Pleiades star cluster. Then, in May, Venus will reach its northernmost point in the whole cycle. And then it will seem to rush down rapidly to the descending node in our picture.

So, back to Venus now, or, at least, Friday evening:

צפה בגדול יותר. | Venus on the evening of Friday, October 25, 2019, via Guy Ottewell’s blog.

You can see that Venus is on the ecliptic. And is still almost down on the sunset horizon. But is inching out into the evening sky, and sharp observers are already monitoring it, or her.

At the ascending node in February, she will be only just past the First Point of Aries, which is the ascending node of the ecliptic on the equator.

Bottom line: A node is the intersection of one celestial body’s orbital plane with the plane of the ecliptic – that is, the plane created by Earth’s orbit around the sun – as projected onto the imaginary sphere of stars surrounding Earth. Venus will be at the descending node of its orbit on Friday, October 25, 2019 at 02:00 UTC translate UTC to your time.


צפו בסרטון: ՄԱՐՍ ՄՈԼՈՐԱԿԻ ԳԱՂՏՆԻՔՆԵՐԸՄԱՐՍԻ ՎՐԱ ՀԱՅՏՆԱԲԵՐՎԵԼ Է ՔԱՂԱՔ?ՆՈՐ ՊՐՈՅԵԿՏ (יָנוּאָר 2022).